Лекція  6

Криві другого порядку.

План.

1.                     Криві другого порядку.
2.                     Коло та його рівняння.
3.                     Еліпс та його канонічне рівняння.                  

 

                                1. Криві другого порядку.

 

Рівняння другого степеня з двома змінними визначає на площині криву другого порядку і притому єдину. Таке рівняння має вигляд Ах2+2Вху+Су2+2Dх+2Ee+F=0.

В цьому рівнянні коефіцієнти А,В,С одночасно не дорівнюють нулю.

Щоб по умові задачі скласти рівняння кривої, заданої множиною на площині, потрібно встановити залежність між координатами х та у довільної точки, що належить цій множині, і параметрами (постійними величинами, заданими в умовах задачі) і записати цю залежність у вигляді рівняння.

 

                            2. Коло та його рівняння.

Рівняння кола з центром в початку координат:       

 

Рівняння кола з центром в точці О(

 

                         3. Еліпс та його канонічне рівняння.

 

Еліпсом називають геометричне місце точок площини, сума відстаней кожної з яких до двох заданих точок цієї ж площини, що називають фокусами, є величина стала, більша ніж відстань між фокусами.

Фокуси позначаються буквами F1 та F2, відстані між фокусами – через 2с.

За означенням

Канонічне рівняння еліпса має вигляд ,

де a, b та с зв’язані між собою співвідношеннями або

Розглянемо два випадки розташування еліпса відносно вісі координат. Ці випадки представлені в таблиці 1.

Ексцентриситетом називається відношення відстані між фокусами до довжини великої вісі позначається буквою :

або

Так як , то

Якщо величина ексцентриситета наближається до 1 , то еліпс сильно витягнутий, якщо ж величина ексцентриситету , то еліпс має більш округлу форму, якщо , то еліпс вироджується в коло.

 

Два основних випадки розташування еліпса відносно осей координат:

Розміщення фокусів      F1 і F2  ОХ                             F1 і F2  ОУ

Координати фокусів      F1 (-с; 0) і F2 (с;0)      F1 (0; с) і F2 (0;-с)             

Співвідношення між а та b                                      

Велика вісь                                                      

Мала вісь                                                        

Фокусна віддаль                                             

Ексцентриситет                                                        

Співвідношення між a, b та с                                   

Рівняння                                                        

 

Приклад 1.

Знайти  координати фокусів, довжину обох осей і ексцентриситет еліпса, заданого рівнянням .

Розв’язання:

Зведемо дане рівняння до канонічного вигляду:  ,     .

Бачимо, що а2=16, ,  а=4. 

Оскільки то фокуси еліпса розміщені на осі ординат F1 і F2  ОУ, тобто  маємо випадок .

Отже, велика вісь,  мала вісь 2а=8.

Із співвідношення між a, b та с для  II-го випадку знайдемо с: , , с = 4.  Отже, F1 (0; 4),  F2 (0;-4).

Ексцентриситет для  II-го випадку , .

Приклад 2.

Скласти канонічне рівняння еліпса, у якого мала вісь 6, а відстань між фокусами .

Розв’язання:

     Щоб записати канонічне рівняння для даного випадку, потрібно знайти а.

З даних задачі ми можемо одразу знайти b та с: 6, b = 3; 2с=8,  с=4.

Оскільки за умовою задачі мала вісь 2b, то велика - 2а, маємо випадок, коли тобто I-й випадок. Тому а знаходимо з рівності , звідки

  ,  а=5.

Отже, канонічне рівняння еліпса для даного випадку має вигляд .