Самостійні роботи № 14 - 15

Функції багатьох змінних

Список літератури

1.     М. В. Грисенко «Математика для економістів: Методи й моделі, приклади й задачі.»: Навч. Посібник. – К.: Либідь, 2007., (ст. 391 – 453)
2. К.Г. Валлєєв, І.А. Джалладова “Вища математика”, навч.посібник  К.: КНЕУ, 2002., ч.2., (ст. 5 – 89)
3. К.Г. Валлєєв, І.А. Джалладова та ін. “Вища математика”: Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни. – К.: КНЕУ, 2002. (ст. 274 – 346)
4. Михайленко В.М., Федоренко Н.Д. Алгебра та геометрія для економістів – К.: Українсько-фінський інститут менеджменту і бізнесу,1997(ст. 173–190)

 

Питання, які необхідно опрацювати

Основні поняття

1. Множини точок на площині та в n-вимірному просторі.
2. Означення функції багатьох змінних.
3. Знаходження області визначення функції двох змінних.
4. Границя функції двох змінних.
5. неперервність функції 2-х змінних.
6. Властивості неперервної функції 2-х змінних.
7. Навчальні завдання.

Диференційованість функції 2-х змінних

1. Частинний та повний приріст функції 2-х змінних.
2. Диференційовність функції 2-х змінних.
3. Достатня умова диференційовності функції 2-х змінних у точці.
4. Диференціювання складної функції.
5. Дотична площина та нормаль.
6. Похідна за напрямом. Градієнт.
7. Частинні похідні  та повні диференціали вищих порядків.
8. Похідна наявної функції.
9. Формула Тейлора для функції 2-х змінних.
10. Поняття визначника Якобі.
11. Ротор, дивергенція.

Дослідження функції 2-х змінних

1. Екстремум функції 2-х змінних.
2. Алгоритм знаходження екстремумів за допомогою матриці Гессе.
3. Умовний екстремум для функції 2-х змінних.
4. Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму.
5. Метод Лагранжа знаходження точок умовного екстремуму.
6. Метод найменших квадратів.
7. Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної функції на замкненій обмеженій множині.

Завдання для самостійної роботи

Рівень І.   1.1, 1.2, 2.1, 3.1, 5, 8.1.

Рівень ІІ.   1.3, 1.4, 2.2, 3.2, 6, 8.2, 9.

Рівень ІІІ. 1.5, 1.6, 2.3, 4,7,  8.3, 10.

1. Знайти частинні похідні першого порядку:

1.1.           1.2.        1.3.            1.4.

1.5.               1.6. .

2. Знайти повні диференціали наступних функцій:

2.1.           2.2.              2.3.

3. Знайти частинні похідні другого порядку:

3.1.          3.2.       3.3. .

4. Довести, що якщо , то .
5. Знайти похідну функції у точці М(1;1) за напрямом .
6. Знайти похідну функції за напрямом від точки М (2;1) до точки N(5;5).
7. . Довести, що в точці похідна в будь-якому напрямку дорівнює нулю ( функція стаціонарна).
8. Знайти екстремум функції:

8.1.     8.2.      8.3.

.

9. Знайти найбільше і найменше значення функції у колі .

Знайти найбільше і найменше значення функції у замкненій області, що обмежена прямими .

Відповіді

1.1. 1.2.

1.3. . 

1.4.

1.5. 1.6.

2.1.   2.2.

2.3. .

3.1. . 5.   6. 9,4.  8.1. Максимум z, якщо . 8.2. Мінімум z, якщо 8.3.Максимум z, якщо

10. Zнайб.=16, Zнайм=-  9. Zнайб.=, Zнайм=.