Каталог статей
Головна » Статті » Меню сайту » Вища математика |
Список літератури.
Короткий історичний огляд основних етапів розвитку математики. Математика — це наука про кількісні відношення і просторові форми дійсного світу. За періодизацією академіка А. М. Колмогорова, в icтopiї математики розрізняють чотири найголовніші періоди: зародження математики (від найдавніших часів до VI—V ст. до н. е.), математика сталих величин (VI—V ст. до н. е.— XVI ст. включно), математика змінних величин (XVII ст.— середина XIX ст.), сучасна математика (друга половина XIX ст.— наші дні). Зародження математики Народження математики з життєвих потреб людини. Перший період найдовший. Початок його збігастья з рубежем розвитку розуму — появою перших кам'яних знарядь, які виготовляла близько двох з половиною мільйонів років тому homo habilis — людина вміла. Ці знаряддя — оброблена певним чином галька з кварцу або лави - були ще дуже примітивні, але навіть їх виготовлення вимагало вже елементарних математичних уявлень про величину кута, під яким потрібно ударяти по гальці, про очікувану форму виробу, про міру наближення до неї проміжних форм напівфабрикату й т. д. Так з першими сплесками думки людина в її боротьбі за існування, на шляху пізнання таємниць навколишнього світу почала формувати, відточувати ще одне найдивовижніше знаряддя, яке потім назвали математикою. Блискучим фіналом практичної математики й перiоду зародження математики як науки були досягнення давньоєгипетської i, особливо, шумеро-вавiлонської математики. Перiод зародження математики як науки: греки, єгиптяни, шумеро-вавілоняни. Країна велетенських пiрамід, неличиих храмiв i сфiнксiв залишила нам i геометричні задачi, що були теоретичною основою грандіозних будов. Єгиптяни знали правильну формулу для обчислення площі прямокутника й наближенi формули для площі трикутника, довiльноro чотирикутника, круга, oб'ємiв паралелепiпеда й циліндра. Вершиною давньоєгипетської геометрії є точне обчислення об'єму зрізаної чотирикутної піраміди. Ще більших yспixiв у математиці досягли шумеро-вавілоняни. Вони створили шістдесяткову позиційну систему числення, розв'язували задачі, що зводилися до квадратних рівнянь i їх систем, а окремі задачі — i до рівнянь вищих степенів (біквадратних i кубiчник). За 1600 років до наро-дження Піфагора знали й широко застосовували у процесі розв'язування задач теорему, названу його іменем. Шумеро-вавілоняни розв'язували вже досить складні задачі, виконували громіздкі обчислення й володіли значно більшим, ніж египтяни, набором математичних понять i алгоритмів розв'язування задач. Але все-таки єгипетська й шумеро-вавілонська математика залишилася практичною. Було розроблено алгоритми розв'язування різних задач практичноro характеру, а математики як теоретичної галузі знань ще не було. Це був тількн переддень математики. Математика сталих величин Грецьке чудо. Нову епоху в історiї математики відкрили стародавні греки. Вони пішли далі своїх попередників у тому, що, не обмежившись відповідями на запитанни “Як?” i “Скільки?”, шукали відповiді на запитання “Чому?”, навіть тоді, коли йшлося про очевидні факти: Чому вертикальні кути рівні? Чому діаметр ділить круг на дві однакові частини? Чому кути при основі рівнобедреного трикутника рівні? Чому площа трикутника дорівнює поло-вині добутку основи на висоту? Стародавні греки вже усвідомлювали, що математика оперує не матеріальними предметами, а тільки абстрактними поняттями. Тому істин у ній (незалежно від того, складні вони чи прості) треба досягати не експериментальними перевірками (вимірювання), поси-ланнями на очевидність чи думку авторитетів, а логічними міркуваннями за певними правилами (законами логіки) i використовували тільки ті влас-тивості математичних понять, які їм приписали як математичним об'єктам. 3 такими вимогами до математичних істин підходив уже родоначальник давньогрецької i європейської науки Фалес Мілетський (бл. 624 - 548 до н.е.). Саме вiд нього розпочалося перетворення єгипетської i шумеро-вавілонської математики із сукупності правил розв'язування різних типів задач у математику як окрему теоретичну галузь знання із своїм особливим методом i об'єктом вивчення. Були сформовані такі фундаментальні мате-матичні поняття, як аксіома, теорема, доведення, i викристалізувалася форма математичного доведення, якою користуються i в наші дні: на основі небагатьох первісних (неозначуваних) понять i відношень між ними (аксіом) істинність ycix інших висловлень (теорем) доводиться логічними міркуваннями. Найбільшим успіхом учених школи Піфагора (бл. 580 - бл. 500 до н. е.) було відкриття несумірних відрізків, відношення яких не можна виразити додатним раціональним числом. це відкриття завдало нищівного удару філософії піфагорiйців, розвiнчавши проголошену ними всемогутність натуральних чисел, i спричинило першу кризу методологічних основ мате-матики. Саме це й започаткувало нову епоху в розвитку теоретичної думки. Необхідність осмислення суті відкритого явища i його зв'язків з усталеними уже уявленнями та знаннями зумовила дальший розвиток усiх математичних теорій. Велике значення для вивчення законів мислення мало також відкриття логічних парадоксів, зокрема апорій (вiд грец. απορια— безвихідне становище, тупик), філософом елейської школи Зеноном Елейським (бл. 490 — бл. 430 до н. е.). Зенон перший чітко висловив ідею просторової i математичної нескінченності, поставив складні, глибокі питання, що розкривали діалектичну суперечливість понять скінченного i нескінченного. 3а три століття (VI ст. - III ст. до н. е.) давньогрецькі вчені збагатили математику такою кількістю нових понять, глибоких теорій, розв'язаних i сформульованих задач, що цей перiод в iсторiї науки справедливо називають грецьким чудом. Але всю глибину теорій давньогрецьких математиків учені зрозуміли тільки в кінці XIX - на початку ХХ ст. Поставлені ними проблеми були тим живильним середовищем, на грунті якого створювалися i перевігрялися методи розв'язування задач, формувалися нові поняття й цілі теорiї. Геніальні праці давньогрецьких математиків - Евдокса кнідського, Архімеда, Евкліда, Аполлонія Перського й Діофанта - проклали потужний фарватер, у руслі якого математика розвивалася два наступні тисячоліття, а блискучі досягнення античних математиків завжди були надихаючим прикладом для трудівників велетенського міжнародного цеху математикiв. Архімед розв'язував деякі задачi, застосовуючи, по суті, диференціальні й інтегральні методи. Але відсутність ряду важливих математичних понять (вони не були ще сформовані), символіки i запитів практики перешкодила розвитоку геніальних iдей великого сiракузянина. Вершиною дедуктивнї побудови математичної теорiї стали славнозвісні "Начала" Евкліда (IV ст. до н. е.). Протягом двох тисячоліть вони були неперевершеним взірцем досконалості й логічної строгості побудови наукової теорії. Стиль "Начал" наслідували вчені різних епох. Геніальний I. Ньютон у своїй основоположній праці "Математичні начала натуральної філософії" не тільки назвою, а й стилем викладу йшов за Евклідом. Група видатних сучасних математиків, які писали під псевдонімом Н. Бурбакі, свій багатотомний математичний трактат теж назвала "Елементи математики". "Елементи" у перекладі з латинської означав "начала". Книжка Евкліда й досі є основою вивчення геометрії в середніх школах майже всіх країн світу. Внесок індійських вчених. Якщо наша геометрія грецького походження, то десяткова позицiйна система численння й арифметика, що на нiй грунтуєтья, прийшли до нас з Iндiї. Коли Північну Iндію завойовували араби, то найціннішим скарбом, який вони звідти вивезли, були не знамениті індійські тканини, прянощі і дорогоцiнні камені, а саме арифметичнi відкриття iндiйських учених. Караванними шляхами ці відкриття поширилися в країнах середньовічного Сходу, потім потрапили в Європу i поступово стали надбанням ycix народів світу. Хоча математика й виділилася в окрему галузь знань, соціальнокономічні умови рабовласницького, а потім i феодального суспільтва обмежували сферу її практичного застосування, не стимулювали розвиток теорій, пов'язаних з роз'язуванням складних задач практичного характеру. Математика обмежувалася вивченням сталих величин і відношень між ними, які були математичними моделями не рухiв, процесів, а тільки певчих явищ навколишнього світу.
Математика змінних величин. Друга криза в методологічних основах математики У нових соціально-економічних умовах розвивалася математика з кінця XVI ст. Буржуазія, яка закладала основи промислового виробництва, потребувала створення різних технічних пристроїв i машин. При цьому виникали задачі, які часто уже не вдавалося розв'язати методами елементарної математики, що оперувала тільки числами, величинами і геометричними фігурами. У математику входить змінна, а з нею - й ідея руху. XVII ст. унікальне за кількістю геніальних вчених. Кеплер, Р. Декарт, П. Ферма, Дж Валліс, В. Паскаль, Х. Гюйгенс здійснили героїчний штурм численних, ще не взятих фортець математики, прокладаючи шлях до найбільшого математичного тріумфу. XVII ст. - це створення Ньютоном i Лебніцем надзвичайного потужного й універсального методу розв'язування задач природознавства, техніки й самої математики – диференціального й інтегрального числення. Нове числення здійснило глибокий переворот у самій математиці та її застосуваннях. Задачі, які раніше були доступні лише окремим математикам, тепер розв'язувалися як тренувальні вправи. Але все-таки новий метод не був достатньо обгрунтований. У математиці ще не були сформовані такі фундаментальні поняття, як границя, похідна, неперервність, збіжність нескінченного ряду, диференціал, інтеграл та ін. Тому поряд з блискучими результатами вчених час від часу підстерігали й парадокси. Кількість таких парадоксів збільшувалась, i вчені не могли встановити їх причини. Це дало привід прихильникам елементарної математики оголосити нове числення логічно суперечливим. Виявлені парадокси спричинили другу кризу в методологічних основах математики, i вченим довелось вдруге зайнятися перебудовою i зміцненням логічних основ своєї науки. Це робота зайняла майже півтора століття й була завершена на початку XIX ст., коли видатний французький математик О. Коші побудував теорію границь, яка відповідала новим, вищим вимогам логічного обгрунтування математики. Одночастно розвивався цілий компекс математичних галузей, першість між якими міцно тримав математичний аналiз. Дехто навіть називав XVII-XVIII ст. епохою математичного аналізу. I це не випадково. здавалося, що нарешті знайдено справді чарівний математичний ключ, за допомогою якого буде розв'язано будь-яку технічну задачу, розкрито всі закони природи. Брати Йоганн i Якоб Бернуллі, Л. Ейлер, Ж. Лагранж, П. С. Лаплас О. Коші, Ж. Фур'є, С. Пуассон, М. В. Остроградський i ixшi математики гідно продовжили справу своїх попередників. Вони справді перетворили математичний аналіз у потужне знаряддя інженерів i природодослідників, збагатили математику новими теоремами, методами розв'язування задач. Основні закони фізики й механіки були написані рівняннями, в які входили не тільки сталі величини i функцiї, а й їх похідні. Такі рівняння називаютыя диференціальними. 3розуміло, що надзвичайно важливою для математики i її застосувань стала проблема розв'язування (інтегрування) диференціальних рівнянь. Вони пробудили від Тисячолітнього сну царство рiвнянь, незмірно розширили сферу застосувань математики, зміцнили її методи. У цей багатий досягненнями період склалися майже всі галузі математики, класична основа сучасної математики - математичний аналiз, аналiтична геометрія, диференціальна геометрiя, теорiя диференціальних рівнянь - звичайних i в частинних похідних, теорiя рядiв, варіацiйне числення, теорiя імовірностей, проективна геометрія. Кожна з цих математичних дисциплін власними методами i системою понять вивчала математичні моделі різних явищ навколишнього світу. Сучасна математика Інтенсивний розвиток математики. Створені в XVII i XVIII ст. галузі математики ще інтенсивніше розвивалися в ХIХ i ХХ ст. В цей час надзвичайно розширилося коло застосувань математики до розв'язування задач природознавства i техніки. Крім кількісного зростання, у четвертому періоді свого розвитку математика зазнала й iстотних якісних змін - з'явилися нові глибокі теорії й узагальнення. Насамперед йдеться про створення геніальним російським математиком М. I. Лобачевським (1798-1856) неевклідової геометрії. У 1832 р. була опублікована праця "Апендикс" (вiд лат. арреndix — додаток) угорського вченого Я. Боняй (1802-1860), у якій той незалежно вiд Лобачевського теж побудував неевклідову геометрію. У 1828-1832 рр. геніальний французький математик Еваріст Галуа (1811-1832) розробив основи однiєi з головних галузей сучасної алгебри, яка знайшла широке застосування в математиці й природознавстві, - теоргії груп i надзвичайно глибокої галузі сучасної алгебри — теорії, яку названо на його честь теорією Галуа. Ці відкриття й стали підвалинами сучасної математики. Визначними результатами збагатили різні розділи математики російський математик П. Л. Чебишов i німецький учений К. Ф. Гаусс. Нові сторінки в icтopiї математики відкрили дослідження з математичної логіки Дж. Буля, Е. Шредера, Г. Фреге, Б. Рассела, геометричні дослідження Б. Рімана. А в 70-х роках ХIХ ст. німецький математик Г. Кантор створив нову математичну галузь — теорію множин. Було знайдено ключ до невідомих раніше таємниць нескінченного. Нові задачі найчастіше вимагали виконання в стислі строки величезної кількості обчислень. В зв'язку з цим на початку 40-х років було створено принципово нові пристрої - електронно-обчислювальні машини. Перша ЕОМ почала працювати в США в 1943 р., а в 1951 р. в Києві стала до ладу перша в СРСР i на Європейському континенті ЕОМ - МЭСМ (Малая електронная счетная машина). Вона була створена колективом науковців під керівництвом академiка С. О. Лебедева (1902-1972). В 1948 р., вийшла в світ книжка Н. Вінера “Кiбернетика або зв'язок в живому органiзмі i машині”. Кібернетика та ЕОМ мають величезний вплив на формування стилю сучасної математики. Дослідження все складніших природних i штучних систем зумовили появу цілого ряду нових математичних дисциплін : теорії алгоритмів, моделей, інформації, масового обслуговування, ігор, структур, катастроф, розмитих множим i т. д. Сьогодні вся математика, безумовно, недоступна для однiєї людини. А фізики, біологи, астрономи й інженери вимагають усе нових i нових понять i алгоритмів розв'язування задач, які виникають. На сьогоднішній день ми маємо більше 80 різних розділів математики, які оформлені у вигляді певних логічних теорій, здатних до розвитку і практичного використання. Математика широко проникла в інші науки: механіку, астрономію, фізику, хімію, економіку, а також в такі ніби далекі від математики галузі знань як соціологія, лінгвістика, біологія медицина. | |
Переглядів: 2378 | |
Всього коментарів: 0 | |