Лекція 13

Повторення основних властивостей визначеного інтеграла та його геометричного змісту. Визначений інтеграл, формула Ньютона – Лейбніца. Обчислення визначеного інтеграла.

 

План

1.                   Задача, що приводить до поняття визначеного інтеграла.
2.                   Означення визначеного інтеграла.
3.                   Геометричний зміст визначеного інтеграла.
4.                   Властивості визначеного інтеграла.
5.                   Формула Ньютона-Лейбніца.
6.                   Методи обчислення визначених інтегралів:

                а)    метод заміни змінної;               

                б)    інтегрування частинами.

 

1.  Задача, що приводить до поняття визначеного інтеграла.

 

Означення. Криволінійною трапецією називається плоска фігура, що обмежена лініями: , у=0, x=a, x=b.

Задача. Обчислити площу криволінійної трапеції S.

Розв'язання:

Поділимо [а; Ь] на n відрізків однакової довжини точками хi, i =, так що

х0= a<х1<x2<...<хn = b і припустимо, що . Вибираємо точки

так: . Побудуємо прямокутники з основою і висотою f(). Площа такого прямокутника , а сума площ усіх таких прямокутників . Площа ступінчатої фігури Sn буде тим менше відрізнятися від площі криволінійної трапеції, чим менша довжина , тобто чим більше n. Тому Sn=S, якщо . Позначимо , тобто .

Означення. Суму типу називають інтегральною сумою.

 

2. Означення визначеного інтеграла.

Означення. Якщо існує скінчена границя інтегральних сум Sn при , яка не залежить ні від способу розбиття [а;Ь] на частини , ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f(х) на проміжку [а: Ь] і позначається: , де a, b - нижня та верхня межі інтегрування.

Теорема. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a;b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

3.  Геометричний зміст визначеного інтеграла.

Якщо f(х)0,   х є[а,b] , то чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції, яка обмежена графіком функції f(x), і прямими х=а, х=b, у=0. Тобто S=.

4.  Властивості визначеного інтеграла.

1. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів від функцій, що додаються:

2. Сталий множник можна винести за знак визначеного інтеграла:

, c=const.

3. При перестановці меж інтегрування визначений інтеграл змінює знак на протилежний:

4. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює 0:  

5. Відрізок інтегрування можна розбити на частини:

6. Якщо f(x), g(x) - інтегровані та f(x)g(x) для х є [а;b], то

7. Якщо f(x)0 і інтегрована для х є  [а;b], b>a , то :

8. Якщо f(x) - інтегрована та mf(x)М для х є [а;b] b>a, то 

9. Якщо f(x) = с, с = соnst, то

Теорема. Якщо функція f(x) інтегрована на [а;b], то існує на [а;b] така точка С, що

5. Формула Ньютона-Лейбніца.

Для обчислення визначеного інтеграла від функції в тому випадку, коли можна знайти відповідний невизначений інтеграл, є формула Ньютона-Лейбніца.

тобто визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної при верхній і нижній межі інтегрування.

Приклад: 5-3=2.

6. Метод заміни змінної.

При обчисленні визначеного інтеграла методом заміни змінної (способом підстановки) визначений інтеграл перетворюється за допомогою підстановки х = у визначений інтеграл відносно нової змінної t. При цьому старі мела інтегрування змінюють відповідно новими межами інтегрування , які знаходяться з вихідної підстановки.

Теорема. Нехай потрібно обчислити інтеграл , де f(x) - неперервна на проміжку [а;b] функція. Візьмемо х = і вважатимемо, що функція задовольняє умови:

1)  визначена і неперервна в деякому проміжку [];

2)  є [а,Ь], коли t є [];

3)  = а, = b;

4)  існує неперервна похідна , t є [], то

Зауваження. При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування, і тому немає потреби вертатись до початкової змінної.

Приклад.

.

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Теорема. Якщо функції (х) та (х) мають неперервні похідні для , х є [], то

Приклад.

.