Лекція 4

Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

План

1. Системи m лінійних рівнянь з n невідомими.
2. Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса:

а) Етапи розв'язку системи лінійних рівнянь: прямий хід, зворотній хід.

б) Детальне пояснення прямого ходу.

в) Приклад.

г) Виконання тренувальних вправ.

 

              Системи m лінійних рівнянь з n невідомими.

Розглянемо систему m лінійних рівнянь, які містять n невідомих.

                               (1)                                                            

Розв’язком системи (1) називається сукупність чисел , що задовольняють усі рівняння системи (1).

Виписавши коефіцієнти біля невідомих та стовпчик вільних членів отримаємо розширену матрицю:

  (2)

               Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

а) Метод Гаусса розв’язування систем лінійних рівнянь полягає у послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь (1)  до трикутного вигляду (прямий хід). Систему, зведену до трикутного вигляду, розв’язують за допомогою послідовних підстановок. Спочатку з останнього рівняння, що містить одну змінну, знаходять і підставляють в попереднє рівняння, з якого визначають , і  т. д. (зворотній хід).

б) Розглянемо детальніше прямий хід. З системи (1) записуємо розширену матрицю (2). Припустимо, що коефіцієнт . На перше місце переносимо такий рядок, щоб виконувалась умова . Якщо таких рядків не має, то ділимо перший рядок розширеної матриці на . Потім почергово множимо отриманий рядок на перші коефіцієнти всіх інших рядків і послідовно віднімаємо від них. В результаті у першому стовпчику всі коефіцієнти будуть рівні нулю, крім першого. На наступному етапі розв’язання така процедура застосовується до решти n-1 рядків. Процедура повторюється доти, поки після n кроків матриця не буде зведена до трикутного вигляду.

 

в) Приклад  Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса:       

 

Розв’язання:

Запишемо розширену матрицю:    .

 

Перший рядок множимо на 5 віднімаємо від другого, результат записуємо в другий рядок. Потім перший рядок множимо на 2 віднімаємо від третього, результат записуємо в третій рядок. Отримуємо:

                                                    .

 

Ділимо друге рівняння на 5, множимо на -3 і віднімаємо від третього.

 

                                                    .

 

Поділимо останній рядок на 14 і перейдемо від матриці до системи:

 

 

Підставимо значення в друге рівняння отриманої  системи і знайдемо значення :

,

.

 

Підставимо значення , в перше рівняння:

                                                                                                    

                                                                                                     .

         Відповідь: .

г) Виконання тренувальних вправ.

№1. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса:   

Відповідь: (1; 2; 3 ;4).

№2. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса: