Лекція 5

Пряма на площині.

План

1. Загальне рівняння прямої.Рівняння прямої, яка проходить через дану точку  і має вектор нормалі.
2. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
3. Рівняння пучка прямих.

1. Загальне рівняння прямої.

Розглянемо на площині прямокутну систему координат і знайдемо рівняння прямої, коли відомий вектор її нормалі n=(А;В) і задано точку Mо(x0;y0) на цій прямій. Нехай М(х;у) — довільна точка шуканої прямої (рис. 1).

Рис. 1

За умовою вектор М0М = (х0−x0;y − y0) перпендикулярний до вектора n =(А,В). Тому їх скалярний добуток nМ0М=0. Звідси маємо рівняння

                                        A(x-x0) +B(y-y0 ) =0            (1)

       Це рівняння прямої, яка проходить через дану точку і має заданий вектор нормалі .

      Або

        Ах +Ву+С=0,    С = -Ах0-Ву0..         (2)

Це рівняння називається загальним рівнянням прямої.

На відміну від рівняння виду (1) змінні х, у входять до рівнян­ня (2) рівноправно. Рівняння (1) завжди можна подати у вигляді (2)

Рівняння прямої (2) можна записати у вигляді (у = кх + b) лише за умови В ≠ 0.

     Коефіцієнти А, В при х, у у загальному рівнянні прямої є про­екціями на координатні осі вектора її нормалі n Справджується теорема.

Теорема 1. Будь-яка пряма на площині може бути задана лінійним рівнянням виду (2). Кожне лінійне рівняння виду (2), де А2 + В2 > 0, визначає деяку пряму.

Доведення. Перше твердження теореми було доведено раніше при виведенні рівняння (1). Доведемо друге твердження. Візьме­мо довільне лінійне рівняння

Ах + Ву+С=0, А2 + В2>0.

Оскільки коефіцієнти при х, у не перетворюються одночасно на нуль, завжди знайдуться значення х x= x0  , y = y0, при яких вико­нується рівність

Ах0 + Ву0 + С = 0.

Віднімаючи ці рівняння почленно, дістаємо рівність

А(х-х0) + В(у-уо) = 0      (3)

За допомогою векторів

п=(А,В),  М0М = (х-х0, у-у0)

рівність (3) можна записати у вигляді nМ0М=0.

Як бачимо з рис. 1, вектор М0М тоді і тільки тоді буде перпендикулярним до ненульового вектора n, коли точка М(х, у) лежить на прямій, що проходить через точку М0 (х0,; у0) перпенди­кулярно до цього вектора. Звідси випливає рівняння (1), що ви­значає деяку пряму. Отже, теорему доведено.

Нехай х, у — координати довільної точки на площині. Пряма (2) поділяє всю площину на дві півплощини. В одній півплощині виконується нерівність Ах + By + С > 0, а в іншій — нерівність Ах + By + С < 0. На самій прямій маємо: Ах + By + С = 0.

Розглянемо частинні випадки рівняння (2):

якщо А = 0, то пряма паралельна осі х;

якщо В = 0, то пряма паралельна осі у;

якщо С = 0, то пряма проходить через початок координат;

якщо А - 0, С = 0, то пряма збігається з віссю д:;

якщо В - 0, С = 0, то пряма збігається з віссю у.

Нагадаємо, що пряма проходить перпендикулярно до вектора п = (А,В).

 

2. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Нехай на площині задано пряму в прямокутній системі координат х, в. Кут ф між віссю Ох і цієї прямої називається кутом нахилу прямій до осі. Тангенс кута нахилу k = tgφ називається кутовим коефіцієнтом розглянутої прямої. Якщо ця пряма перетинає вісь Оу в крапці В с координатами (0;b), то число b називається початковою ординатою. Візьмемо довільну крапку М(х;у) на прямій (мал.2).

                                     Рис. 2

 

  З прямокутного трикутника МАВ знаходимо рівняння прямої    = tgφ , яке можна подати у вигляді (1) y=kx + b, де  k= tgφ.

                                                

                                                                                                               Рис. 3

Координати х, у будь-якої точки М(х;у), що належить прямій, задовольняють рівняння (1). Якщо пряма (1) проходить через то­чку M(х;y1), то справджується рівність y1 = kx1+b,

     Віднімаючи почленно цю рівність від рівності (1), дістаємо рів­няння прямої, що проходить через задану точку:         у-y1= k(х-х1).       (2)

Зі зміною кутового коефіцієнта k в рівнянні (2) утворюються різні прямі, що проходять через точку М1 (x1;у1). Рівняння (2) на­зивається рівнянням пучка (в'язки) прямих