Лекція №12

Невизначений інтеграл та його основні властивості.

План

1. Означення невизначеного інтеграла.

2. Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця інтегрування елементарних функцій.

3. Способи інтегрування:

спосіб підстановки;

спосіб інтегрування частинами.

1. Означення невизначеного інтеграла.

Означення. Функція F(x) називається первісною для футщії у=fх) на деякому інтервалі [а,b], якщо F'(х)=f(х) Наприклад.

Якщо f(х)=3x2, то F(x)=x3, бо F'(x)=3x2,  також F(х)=х3+2, бо F'(х)=3x2 і взагалі F(х)=x3+С, С є R. Це є загальний вигляд первісної для f(х,)=3x2

Теорема. (про загальний вигляд усіх первісних).

Якщо F(x) - первісна для f(х), то множина всіх первісних для функції f(x) має вигляд F(х)+С, де С є R.

Означення. Множина всіх первісних F(х)+С для функції f(x) називається

невизначеним інтегралом і позначається , f(x)-підінтегральна функція, f(х)dх - підінтегральний вираз.

Операція знаходження невизначеного інтегралу від деякої функції називається інтегруванням цієї функції.

2. Властивості невизначеного інтеграла.

1.                   - похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.
2.                   - діференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.
3.                   - сталий множник підінтегральної функції можна винести за знак інтеграла.
4.                   Якщо
5.                   - інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів.

Таблиця інтегрування елементарних функцій.

         На основі означення, властивостей невизначених інтегралів та таблиці похідних основних елементарних функцій створено таблицю невизначених інтегралів, якщо – довільна диференційовна функція змінної

1. .                                         2. .

3. .                                                    4. .

5. .                                             6. .

7. .                                                    8. .

9. .

10. .

11. .                   

12. .

13. .

14. .

15.

3. Способи інтегрування.

       Знаходження невизначених інтегралів способом зведення їх до табличних за допомогою перетворення підінтегрального виразу та застосуванням властивостей називається способом безпосереднього інтегрування.

1. Спосіб підстановки (заміни змінної).

Суть цього способу: замінюють новою змінною таку частину підінтегральної функції, при диференціюванні якої отримуємо частину що залишилась від підінтегрального виразу (не враховуючи сталого множника, на який завжди можна помножити і розділити підінтегральний вираз.)

Приклад 1.

Приклад 2.

2. Спосіб інтегрування частинами.

При інтегруванні функції які містять добутки, логарифми і обернені тригонометричні функції буває корисно використовувати спосіб інтегрування частинами.

                (1)

За допомогою формули (1) інтегрування знаходження інтеграла  

(складається) зводиться до знаходження інтеграла

При практичному застосуванні формули (1) даний підінтегральний вираз представляють у вигляді добутку двох співмножників, які позначаються u і dv. Множник u намагаються вибрати так, щоб u' була простіша v.

Приклад.3.