Матриці.

Матрицею називають сукупність чисел R які утворюють таблицю, що містить m рядків та n стовпців.

.

Для будь-якого елемента перший індекс означає номер  рядка , другий j – номер стовпця. Самі матриці позначають великими латинськими буквами. Числа, що утворюють матрицю, називають її елементами. Елементи матриці позначають малими латинськими буквами з подвійними індексами. Запис m x n означає розмір матриці. Скорочено матрицю можна записати так: А=().

Якщо число рядків матриці не дорівнює числу стовпців, матриця називається прямокутною.

А ,                   В.

Матриця називається квадратною, коли число її рядків дорівнює числу її стовпців. Число рядків і стовпців квадратної матриці називають її порядком.

Розглянемо квадратну матрицю  порядку n:       .

Ряд чисел називається головною діагоналлю.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, розміщенні поза головною діагоналлю, дорівнюють нулю.

Приклад              А,            .

Діагональна матриця називається скалярною, якщо всі її елементи, розміщені на головній діагоналі рівні  між собою.

Діагональна матриця називається одиничною, якщо всі її елементи, розміщені на головній діагоналі, дорівнюють одиниці і позначається буквою Е.

Приклад               .

Матриця називається нулевою, якщо всі її елементи дорівнюють нулю і позначається буквою О.

Приклад         О  .

В прямокутній матриці типу m x n можливі два випадки:

1. m1, отримуємо  матрицю-рядок   А=).
2. n=1, отримуємо  матрицю-стовпець  В=

Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають однаковий розмір і в них рівні між собою однаково розміщені елементи.

Транспонованою називається матриця в якої рядки замінені на стовпці зі збереженням порядку їх запису. Операцію транспонування позначають буквою Т у показнику степеня або штрихом.

Приклад

А= ,  =.

Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі її елементи, розміщені під головною діагоналлю або над нею, дорівнюють нулю.

Приклад

А = , В=.

Лінійні операції над матрицями.

Введемо операції над матрицями.

1.                     Сумою двох матриць одного й того ж розміру) А=() і В=() називають матрицю С =() того ж розміру, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В:                    С=А+В,        .

Приклад

Додати матриці А і В, якщо

,  .

                                                     Розв’язання:

С=А+В==

.

Різницю матриць знаходять аналогічно до суми.

2.                     Добутком матриці на число називається така матриця С,кожен елемент якої утворюється множенням відповідних елементів матриці А на :

С=×А, =.

Приклад

Помножити матрицю А= на число =-2.

Розв’язання:

С=-2×=.

Множення матриць.

Добутком матриці А=() розміру m × p на матрицю В=() розміру p × n називається така матриця С =()  розміру  m x  n , кожний елемент якої можна знайти за формулою:              .

Тобто,  кожний елемент матриці С утворюється як сума добутків відповідних елементів -го рядка матриці А на відповідні елементи -го стовпця матриці В.

Зауваження:

1. Матрицю А можна множити на матрицю В лише тоді, коли кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.
2. В результаті множення двох прямокутних матриць отримуємо матрицю, що має стільки рядків, скільки рядків у першій матриці, і стільки стовпців, скільки стовпців у другій матриці.

Приклад 1.  З найдемо добуток матриць А= ,  В.

АВ=.

ВА=

=.

АВВА.

Властивості.

1. Відносно суми:

   А+В=В+А (комутативність);

(А+В)+С=А+(В+С) (асоціативність).

2. Відносно добутку на число:

    А=А(комутативність);

    ()А=() (дистрибутивність  відносно суми чисел);

    (А+В)=А+В (дистрибутивність відносно суми матриць).

3. Відносно множення матриць:

   АВВА. (не комутативність);

  (АВ)С=А(ВС) (асоціативність);

   ЕА=А, АЕ=А, де Е – одинична матриця.