Лекція 14

 

Диференціальні рівняння, основні поняття і означення.

Диференціальні рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними.

 

План лекції.

1. Диференціальні рівняння, основні поняття і означення. Задача Коші.

2. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.

3. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

 

1. Диференціальні рівняння, основні поняття і означення.

Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке містить похідну шуканої функції або її диференціали.

Розв'язати диференціальне рівняння - означає знайти таку ф-цію, підстановка якої в це рівняння перетворює його в тотожність. Ця ф-ція називається розв'язком диференціального рівняння.

Приклад: Рівняння у"+у=0 має розв'язок у=sinх.

у'=cosx, у"= -sinx, -sinx+sinx=0

Вияснимо тепер, скільки розв'язків має диференціальне рівняння. Наприклад попереднє рівняння має ще розв'язки, які задаються формулою у=С1соsх+С2sinх,

С1 ,С2 – деякі числа.

Отже диференціальне рівняння має безліч розв'язків.

Розв'язок, який містить постійну С, називається загальним розв'язком

диференціального рівняння.

Розв'язок в якому підставлено числове значення С, називається частинним

розв'язком диференціального рівняння.

Геометрично частинний розв'язок представляється у вигляді інтегральної кривої, а загальний - сімейства кривих.

При розв'язуванні диференціального рівняння спочатку отримуємо загальний розв'язок. Потім, якщо відомо початкові дані, отримуємо частинний розв'язок.

Задача відшукання частинного розв'язку диференціального рівняння по початкових даних називається задачею Коші.

Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної.

ху'-у=4;   у"-ху'+5у=1+х2;   у'"+2ху"=0.

Загальний вигляд диференціального рівняння першого порядку такий F(х, у, у')=0

 

2. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.

Означення. Найпростіше диференціальне рівняння є рівняння виду (1) у'=f(х) тобто . Щоб його розв'язати потрібно знати інтеграл від функції f(х), тобто ,       .

 

Означення.  Рівняння виду (2) f(х)dx+(у)dу=0, де f(х), (у) - дані функції, називається рівнянням з відокремленими змінними, або f(x)dx = - (y)dy

Розв'язування таких рівнянь виконується безпосереднім інтегруванням.

Приклад 1    

Розв'язати рівняння:  

 

Розв'язання:

.

 

3. Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними.

Означення. Рівняння виду (3)  f(х)F(y)dх+g(y)P(x)dу=0, де f(x), F(у), g(х), P(у) - дані функції, називається рівнянням з відокремлюваними змінними.

Рівняння  f(х)F(у)dх+g(х)P(у)dу=0 можна звести до виду f(х)dх+g(y)dу=0, якщо розділити всі його члени на добуток функцій F(y)P(x).

 

Приклад 2

  х(у2-1 )dх+у(х2+1 )dу=0,    1 +у - ху'=0,   2dх-3dу+хdу+у2 dу=0,     1+у'+у+ху'=0.

Приклад 3

Розв'язати рівняння:  х(у2-1)dх + у(х2+1)dу = 0.

Розв'язання:

Поділимо обидві частини  даного рівняння на добуток функцій (у2-1)(х2+1).

    ,

,

  ,

        або  (x2+1)(y2-1)=C.

 

4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та їх розв'язування.

Рівняння виду (4) у'+ру=q, де р і q - функції змінної х або сталі, називаються лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Зауваження. Рівняння називається лінійними , так як шукана функція у і її похідна у' входять в це рівняння в першому степені.

Лінійне рівняння може бути одночасно і рівнянням з відокремлюваними змінними. В цьому випадку воно розв'язується, як рівняння з відокремлюваними змінними (q=0).

Метод Бернулі. (q0).

        Для розв'язання лінійного рівняння у'+ру=q використовують підстановку у=uv та  , в результаті якої рівняння (4) зводиться до двох рівнянь з відокремлюваними змінними, де u і v – нові функції від х.

       Оскільки у виразі у=uv  один із множників можна вибрати довільно, то нехай – рівняння з відокремлюваними змінними. Розв'яжемо його перенісши один з доданків у праву сторону   і відокремивши змінні  . Проінтегруємо його  . Тому звідки . Тоді

 

або , ,  проінтегрувавши яке,  отримаємо .

Підставивши отримані значення  u і v  у рівність у=uv , матимемо :

– загальний розв'язок лінійного рівняння.

Приклад 3      Розв'язати рівняння:

Розв'язання:

Підставимо у=uv і  в дане рівняння і отримаємо: .

  (*)

.

     Зауваження. У зв’язку з довільним вибором ми можемо не враховувати довільну сталу С, тобто прирівняти її до нуля.

Знайдене значення підставляємо у рівняння (*):    . Звідки , або     ,  

, 

,

.

       Зауваження. Тут С писати обов’язково, оскільки в протилежному випадку, отримаємо частинний розв'язок, а не загальний.

 

        Підставивши отримані значення  u і v  у рівність у=uv , матимемо загальний розв'язок  даного  рівняння:

                                             .