Лекція 10

Поняття диференціала. Геометричний зміст диференціала. Знаходження диференціала.

 

План.

1.       Поняття диференціала.
2.       Геометричний зміст диференціала.
3.       Знаходження диференціала.

 

1. Поняття диференціала.

 

Нехай дано функцію у = f(x), диференційовану в точці X. Це означає, що функція в точці X має похідну, тобто існує . Отже, для функції f(х) виконується рівність де , якщо .

Помножимо обидві частини рівності і отримаємо: (1). Тут у' є функція від х і не залежить від х, отже,  х входить в перший доданок в першому степені (тобто лінійно). Тому перший доданок являє собою лінійну частину приросту функції (про другий доданок цього сказати не можна, бо також залежить від х).

Тоді при х -> 0 х можна знехтувати, і перший доданок у'х буде являти собою головну частину приросту функції.

Означення: Головна частина приросту функції, лінійна відносно приросту незалежної змінної, називається диференціалом функції і позначається знаком d, тобто dу = у'х. Отже, у' залежить від х, а у залежить від х та х ( змінні незалежні одна від одної).

Приклад.

Знай приріст та диференціал функції у=х2 в точці х=2 при х=0,1.

Розв’язування:

         

 

 

 

2. Геометричний зміст диференціала.

 

Розглянемо графік перервної функції у =f(x), похідна функції в точці з абсцисою x рівна тангенсу кута похилу дотичної до додатного напряму осі Ох, тобто

 

                   

 

З малюнка видно, що дотична розбиває приріст функції у = NМ1 на два відрізки M1K, що відповідає в рівності (1) доданку х і NK , що відповідає доданку у'х .

Якщо х 0, то М1 —> М і відрізок М1К зменшується швидше , ніж NК . Таким чином, приріст ординати дотичної NK є головною частиною приросту функції у = f(х).

З  MNK знаходимо . Так як то .

Отже, диференціал функції у=f(х) геометрично зображається приростом ординати дотичної, проведеної в точці М(х,у) приданих значеннях х   та х .

3. Знаходження диференціала.

Розглянемо функцію у = х. З формули dу = у'х отримуємо dх = х отже, диференціал незалежної змінної dх співпадає з його приростом х, враховуючи це, можна записати, що dу = у'dх.

Так якщо у = x3, то dу = Зх2dх.

                 y = cosx, то dy=-sinxdx

Звідси випливає, що правила знаходження диференціала залишаються тими ж, що і для знаходження похідної, потрібно тільки помножити похідну на dх.   

 

Таблиця диференціалів елементарних функцій:

        1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

        9.

Диференціал складеної функції.

Так як є диференціал функції , то =, тобто

Приклад. .

Застосування диференціювання для наближених обчислень.

Нам вже відома формула , де у – приріст функції, dy – диференціал функції. Можна припустити, що , тоді при досить малому значені х:   

Приклад. Обчислити зміну функції у=х3-7х2+80 при зміні аргументу х від 5 до 5,01.

Розв’язування:

Знайдемо При х=5, х=5,01-5=0,01 отримаємо