Похідна складної функції

Складеною функцією зазвичай називають функцію від функції.

• Якщо змінна y  є функцією від u:  y = f(u), а u  в свою чергу – функцією від x; u = ϕ(x), то y є складеною функцією від x, тобто y = f(ϕ (x)).

• Функцію називають зовнішньою, а - внутрішньою функцією, або проміж­ною змінною.

Якщо функція ϕ(x) має похідну в точці  x0, а функція f(u) – похідну в точці u0 = ϕ(x0), то складена функція y = f(ϕ(x)) також має похідну в точці x0, причому

• Похідна складеної функції y = f(ϕ(x)) дорівнює добутку похідної даної функції  y = f(u) по проміжному аргументу u  (позначено f′(u))  на похідну  проміжного аргументу u=ϕ(x) по незалежному аргументу x (позначено ϕ′(x)).

Формули диференціювання складних функцій

Вважаємо, що , тоді:

1.         ;
2.         ;
3.         ;
4.         ;
5.         ;
6.         ;
7.         ;

8.         ;
9.         ;
10.   ;
11.   .

• Щоб запобігти помилок, необхідно в виразі складеної функції побачити композицію двох функцій. Складені функції легше розпізнавати на перших порах за допомогою кольору.

 

Приклад 1 y=  (sinx)5y=sin5x                            

y/=(sinx)5=u5u=sinx

y/= (u5)/∙(sinx)/ = (5u4)∙(cosx)=5sin4xcosx

 

Приклад 2 y=sin3x=sinu           u=3x

y/=(sinu)/∙(3x)/= cosU∙3=3cos3x

 

Розглянемо декілька прикладів знаходження похідної складеної функції без введення проміжного аргументу «u»

 

1.              y = ( 2x3-5x2-7)8

  y/ = 8(2x3-5x2-7)7∙( 2x3-5x2-7)/= 8( 2x3-5x2-7)7∙(6x2-10x).

 

2.              y = cos ( x3 +4x-1)

  y^/ = ( cos ( x³+4x-1))^/= -sin( x³+4x-1) ·( x³+4x-1)^/= -sin (x³+4x-1) · ( 3x²+4).

 

3.              y = esinx

  y/ = ( esinx)/ = esinx · ( sinx )/ = esinx · cosx.

 

4.              y= 2^cosx-3x

   y^l = ( 2^cosx-3x)^/ = 2^cosx-3x · ( cosx-3x)^/ = 2^cosx-3x · ( -sin x – 3).

 

Похідну складеної функції не так важко і шукати, головне пам'ятайте, що правила ті самі, тільки уявляйте, що аргумент це також функція, і від неї потрібно брати похідну.

 

ПОХІДНІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ

• Нехай функція диференційовна на , тобто має похідну . Якщо існує похідна від , то вона називається другою похідною функції (або похідною другого порядку) та позначається .
•                                                                                                                                                                                                                       Похідна від другої похідної називається похідною третього порядку та позначається .
• Похідною -го порядку називається похідна від похідної -го порядку (якщо вона існує): або  .

 

Приклад 1

Знайти похідну другого порядку від функції .

Спочатку знайдемо .

.

 

Приклад 2

Знайти похідну третього порядку від функції .

;

;

.