Екстремуми функції

 

Точки в яких похідна функції не існує або дорівнює нулю називають критичними точками.

Точками екстремуму називають точки мінімуму (min) і максимуму (max) функції.А значення функції у цих точках – екстремумом.

Теорема Ферма:

Якщо точка хо є точкою екстремуму, то похідна                       функції в цій точці існує і дорівнює нулю. 

Ознака максимуму функції:

 Якщо функція  f(x) неперервна в точці хо і на відрізку (а; хо) її похідна більша нуля (), а на відрізку (хо; b) її похідна

меньша нуля () то точка хо є точкою максимуму функції.

Іншими словами: якщо в точці хо похідна функції зліва на право змінює свій знак з “+” на ”-” то точка хо є точкою  максимуму функції.                

 

 

 

Ознака мінімуму функції:

Якщо функція  f(x) неперервна в точці хо і на відрізку (а; хо) її

похідна меньша нуля (), а на відрізку (хо; b) її похідна більша нуля () то точка хо є точкою мінімуму функції.

Іншими словами: якщо в точці хо похідна функції зліва на право змінює свій знак з “-” на ”+” то точка хо є точкою мінімуму функції.                

 

 

 

Зростання і спадання функції

 

Ознака зростання функції:

Якщо похідна функції f(x) більша нуля на деякому інтервалі,

то функція зростає на цьому інтервалі.

Якщо то f(x) зростає ().

Ознака спадання функції:

Якщо похідна функції f(x) меньша нуля на деякому інтервалі,

то функція спадає на цьому інтервалі.

Якщо то f(x) спадає ().

Приклад

Знайти точки екстремуму та проміжки зростання і спадання функції

.

Спочатку знаходимо критичні точки, тобто точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує:

.

Розглянемо знаки на різних проміжках.

 

 

 

Таким чином, у точці функція має мінімум; у точці функція має максимум, у точці функція має мінімум;

на проміжках та функція спадає, а на проміжках та зростає.