ПОХІДНА ФУНКЦІЇ

 

Нехай функція визначена на . Візьмемо довільну точку і надамо аргументу довільний приріст такий, що точка не виходить за область визначення функції. Функція матиме приріст .

Якщо існує скінченна границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що , то ця границя називається похідною функції і позначається

Отже, за означенням .

Якщо похідна функції у точці існує, то функція називається диференційовною в цій точці.

Процес знаходження похідної називають диференціюванням.

Якщо функція диференційовна в кожній точці , то вона називається диференційовною на .

Основні правила диференціювання

1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто

, якщо .

2. Сталу можна виносити за знак похідної. Якщо , а , то

.

3. Похідна суми дорівнює сумі похідних. Якщо і , то

.

4. Похідна добутку знаходиться за формулою

.

5. Якщо і мають похідні в точці і , то функція також має похідну в цій точці, причому

.

6. Похідна оберненої функції.

Якщо функція має в точці похідну , то обернена функція також має похідну в точці , причому

.

7. Похідна складної функції.

Якщо , а , тобто , то

    .

Функцію називають зовнішньою, а - внутрішньою.

 

На основі визначення похідної і правил диференціювання складено таблицю похідних основних елементарних функцій:

1. ;                                                                 2. ;

3. ;                                                            4. ;

5. ;                                    6. ;

7. ;                                                       8. ;

9. .

 

 

Формули диференціювання складних функцій

Вважаємо, що , тоді:

1. ;
2. ;
3. ,  ;
4. ;
5. ;             
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10.        ;
11.        .

Досить часто розглядаються похідні таких функцій:

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

Приклад 1

.

Приклад 2

.

Скористаємося таблицею похідних складних функцій. Позначимо

, тоді .

Тоді, скориставшись таблицею похідних, маємо

тобто

Позначимо

,

тоді

.

Похідну знаходимо, також скориставшись таблицею похідних:

тобто

Отже,

.

Приклад 3

Знайти , якщо

.

Треба знайти фактично похідну добутку двох складних функцій (правило 4):

,

використовуємо таблицю похідних:

Отже, .

Приклад 4

Знайти , якщо

,

де необхідно знайти похідну частки (правило 5):

.

Зауважимо, що

,

,

.

Отже,